확률변수
정의
- Random Variable
- 확률적 사건의 결과를 숫자(실수:Real Number)로 표현하는 함수를 뜻한다.
- 확률적 실험에서 나올 수 있는 결과들을 수학적으로 다루기 쉽도록 숫자로 변환해주는 역할
- 확률변수는 함수다. 함수!
이름은 확률 “변수”이나.. 확률변수는 “함수” 다!
왜 헷갈리게 이름을 지었을까?
이 개념은 사용하는 사람들이 “함수의 정체성” 보다는 “값이 바뀌는 수량”이라는 측면을 더 강조해 이해하고, 사용하기 때문이다.
기본 개념
표본 공간 $\Omega$
- 실험에서 발생할 수 있는 모든 결과들의 집합
- 6면 주시위의 표본공간은 {1, 2, 3, 4, 5, 6} 이다.
확률변수 $X$
- 표본 공간의 원소 $w$에 실수 $x$를 대응시키는 함수
- $X(w) = x$
- 단, $w \in \Omega$ 이며, $x \in (R)$ 이다. (R : 실수 집합)
종류
| 확률변수 |
설명 |
| 이산형 확률변수 |
값들의 수를 셀 수 있는 확률변수
복권 당첨 여부, 동전 앞면 나온 횟수, 성공 횟수, 사망자 수 |
| 연속형 확률변수 |
구간으로만 확률을 구할 수 있는 변수
키, 몸무게 등. (정확하게 한 점을 집을 수 없는 경우) |
예시
주사위에서 나올 눈금
1
2
3
4
5
| 주사위 던지기
- 실험 : 주사위를 한 번 던진다.
- 확률변수의 정의 : 나온 눈을 그대로 숫자에 대응한다.
- 확률변수 X 의 가능한 값 범위는 {1, 2, 3, 4, 5, 6}
- 이 때의 확률변수 "X(w) = 주사위 눈"
|
사람의 키 측정 결과
1
2
3
4
5
| 사람의 키 측정
- 실험 : 임의의 한 사람의 키를 잰다.
- 확률변수의 정의 : 측정된 키를 실수로 표현한다.
- 확률변수 Y 의 가능한 값 범위는 양의 실수값 전체 범위
- 이 때의 확률변수 "Y(w) = 사람의 키"
|
확률변수가 아닌 것
1
2
3
| - "하늘이 왜 파란색인가?" 같은 설명형 문장
- 사람의 이름 -> 숫자로 정의하지 않는 이상 이름 자체는 숫자가 아니다.
-> 이를 숫자화(mapping)을 하지 않는다면 확률변수가 될 수 없다.
|
1
2
3
| - 태어난 연도는 무엇인가? -> 본인에게는 고정된 하나의 값
- 물을 300ml 따른 컵을 바로 측정했을 때 담긴 물의 양은?
-> 실험을 반복해도 변하지 않으므로 확률적 상황이 아님
|
확률변수의 기댓값
정의
- 확률변수 확률분포의 무게 중심값
- 무한히 반복했을 때, 그 확률변수가 가질 수 있는 평균값
- 즉, 어떤 확률변수의 평균값의 이론적 형태
- $E(X)$ 로 표현한다.
이산형 확률변수의 기댓값
계산식
\[E(X) = \sum{_{i=1}^{n}}\, x{_i} \, p{_i}\]
- $x(i)$ : 어떤 사건(i) 의 확률변수 값
- $p(i)$ : 어떤 사건(i) 이 일어날 확률
- 이산형 확률변수의 기댓값은 (값과 확률의 곱)의 합이다.
예시
1
2
3
4
| 동전 던지기
- 앞면 = 0, 뒷면 = 1 이라고 했을 때
E(X) = 0*1/2 + 1*1/2 = 0.5
|
- 동전 던지기에서 앞면을 0, 뒷면을 1이라고 했을 때 확률변수의 기댓값은 0.5이다.
1
2
3
4
| 주사위 던지기
E(x) = 1/6 + 2/6 + 3/6 ... + 6/6
= 3.5
|
연속형 확률변수의 기댓값
계산식
\[E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x\, f(x)\, dx\]
- 연속형 확률변수의 기댓값은 (갑과 확률의 곱)의 적분이다.
- $x$ : 확률변수가 가질 가능한 값
- $f(x)$ : 확률밀도함수. x 값 주변의 밀도.
- $dx$ : x 근처의 아주 적은 폭의 구간
- $f(x) \cdot dx$ = X 가 x 근처의 작은 구간($x \pm dx$) 에 있을 확률
Reference
통계로 세상 읽기 - 이긍희, 이기재, 장영재, 박서영, 한종대 공저
방송통신대 - 통계로 세상 읽기 강의
https://m.blog.naver.com/mmysmmys/222009435301
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