[통계] 지수

지수

정의

• 시간의 흐름에 따라 데이터가 어떻게 변화되었는지 파악할 수 있도록 만든 통계
• 예를 들어 시간의 흐름에 따라 수량이나 가격 등이 어떻게 변화되었는지

계산법 - 가격지수

라스파이레스(Laspeyres) 의 가격지수

과거의 물량을 가중치로 하여, 가격이 얼마나 변화했는지

\[L_P = \frac{\sum_{i=1}^{n} q_i^{0} \, p_i^{t}}{\sum_{i=1}^{n} q_i^{0} \, p_i^{0}}\]

• $0$ : 기준시점, 즉 관심 데이터 집합의 “첫 시점”
• $t$ : 특정 시점 t. 관심 데이터 집합의 “마지막 시점”
• $i$ : 품목
• $n$ : 품목의 종류 수
• $q_i^{0}$ : 기준시점(0)의 품목 i의 수량. (quantity, 또는 weight으로도 쓸 수 있음)
• $p_i^{t}​$ : 시점 t의 품목 i의 가격 (price)
• $p_i^{0}$​ : 기준시점(0)의 품목 i의 가격 (price)
• 라스파이레스 식은 기준 시점(0)의 수량을 가중치로 사용하는 것이 핵심

파셰(Paasche) 의 가격지수

현재의 물량을 가중치로 하여, 가격이 얼마나 변화했는지

\[P_P = \frac{\sum_{i=1}^{n} q_i^{t} \, p_i^{t}}{\sum_{i=1}^{n} q_i^{t} \, p_i^{0}}\]

• $0$ : 기준시점, 즉 관심 데이터 집합의 “첫 시점”
• $t$ : 특정 시점 t. 관심 데이터 집합의 “마지막 시점”
• $i$ : 품목
• $n$ : 품목의 종류 수
• $q_i^{t}$ : 시점 t의 품목 i의 수량. (quantity, 또는 weight으로도 쓸 수 있음)
• $p_i^{t}​$ : 시점 t의 품목 i의 가격 (price)
• $p_i^{0}$​ : 기준시점(0)의 품목 i의 가격 (price)
• 파셰 식은 t 시점의 수량을 가중치로 사용하는 것이 핵심

피셔(Fisher) 의 가격지수

\[L_P = \frac{\sum_{i=1}^{n} q_i^{0} \, p_i^{t}}{\sum_{i=1}^{n} q_i^{0} \, p_i^{0}} \ , \ P_P = \frac{\sum_{i=1}^{n} q_i^{t} \, p_i^{t}}{\sum_{i=1}^{n} q_i^{t} \, p_i^{0}}\] \[F_P = \sqrt{(L_P \ * \ P_P)}\]

• 라스파이레스 식과 파셰 식을 곱한 뒤, 이를 제곱근 한 것

계산법 - 물량지수

• 물량지수는 물량 대신 가격을 고정하고, 물량을 유동적으로 계산한다.

라스파이레스(Laspeyres) 의 물량지수

과거의 가격을 가중치로 하여, 물량이 얼마나 변화했는지

\[L_Q = \frac{\sum_{i=1}^{n} p_i^{0} \, q_i^{t}}{\sum_{i=1}^{n} p_i^{0} \, q_i^{0}}\]

• $0$ : 기준시점, 즉 관심 데이터 집합의 “첫 시점”
• $t$ : 특정 시점 t. 관심 데이터 집합의 “마지막 시점”
• $i$ : 품목
• $n$ : 품목의 종류 수
• $p_i^{0}$ : 기준시점(0)의 품목 i의 가격 (price)
• $q_i^{t}​$ : 시점 t의 품목 i의 수량 (quantity)
• $q_i^{0}$​ : 기준시점(0)의 품목 i의 수량 (quantity)
• 라스파이레스 식은 기준 시점(0)의 가격을 가중치로 사용하는 것이 핵심

파셰(Paasche) 의 물량지수

현재의 가격을 가중치로 하여, 물량이 얼마나 변화했는지

\[P_Q = \frac{\sum_{i=1}^{n} p_i^{t} \, q_i^{t}}{\sum_{i=1}^{n} p_i^{t} \, q_i^{0}}\]

• $0$ : 기준시점, 즉 관심 데이터 집합의 “첫 시점”
• $t$ : 특정 시점 t. 관심 데이터 집합의 “마지막 시점”
• $i$ : 품목
• $n$ : 품목의 종류 수
• $p_i^{t}$ : 시점 t의 품목 i의 가격(price)
• $q_i^{t}​$ : 시점 t의 품목 i의 수량 (quantity)
• $q_i^{0}$​ : 기준시점(0)의 품목 i의 수량 (quantity)
• 파셰 식은 t 시점의 가격을 가중치로 사용하는 것이 핵심

피셔(Fisher) 의 물량지수

\[L_Q = \frac{\sum_{i=1}^{n} p_i^{0} \, q_i^{t}}{\sum_{i=1}^{n} p_i^{0} \, q_i^{0}} \ , \ P_Q = \frac{\sum_{i=1}^{n} p_i^{t} \, q_i^{t}}{\sum_{i=1}^{n} p_i^{t} \, q_i^{0}}\] \[F_Q = \sqrt{(L_P \ * \ P_P)}\]

• 라스파이레스 식과 파셰 식을 곱한 뒤, 이를 제곱근 한 것

예시

품목	가격(0)	판매량(0)	가격(t)	판매량(t)
사과	1000	10	1000	40
배	1000	10	2000	10

가격지수

// 라스파이레스 가격 지수
Lp = ((1000 * 10) + (2000 * 10))/((1000 * 10) + (1000 * 10))
   = (10000 + 20000)/(10000 + 10000)
   = 30000/20000
   = 1.5

// 파셰 가격 지수  
Pp = ((1000 * 40) + (2000 * 10))/((1000 * 40) + (1000 * 10))
   = (40000 + 20000)/(40000 + 10000)
   = 60000/50000
   = 1.2
   
// 피셔 가격 지수
Fp = (1.5 * 1.2)^(1/2)
   = 1.34164079

물량지수

// 라스파이레스 물량 지수
Lq = ((1000 * 40) + (1000 * 10))/((1000 * 10) + (1000 * 10))
   = (40000 + 10000)/(10000 + 10000)
   = 50000/20000
   = 2.5

// 파셰 물량 지수  
Pq = ((1000 * 40) + (2000 * 10))/((1000 * 10) + (2000 * 10))
   = (40000 + 20000)/(10000 + 20000)
   = 60000/30000
   = 2.0

// 피셔 물량 지수  
Fq = (2.5 * 2)^(1/2)
   = 2.23606798

Reference

통계로 세상 읽기 - 이긍희, 이기재, 장영재, 박서영, 한종대 공저
방송통신대 - 통계로 세상 읽기 강의
https://m.blog.naver.com/mmysmmys/222009435301